Lire et écrire les puissances de dix
Tu rencontres 2,5 × 10³ dans un calcul. Est-ce 2,5 × 3, ou un nombre qui vaut plusieurs milliers ? Pour le lire, commence par retrouver ce que représente 10³. Cette lecture permet de vérifier une valeur affichée dans une analyse avant de commenter le résultat.
Prends une feuille ou une calculatrice et fais les essais pendant la lecture. Si tu passes plus de vingt minutes sur une notion sans calculer, reviens à un exemple et demande un appui sur cette étape.
Partir de 1 et multiplier par 10
Le petit nombre placé en haut s’appelle l’exposantPetit nombre placé en haut à droite d’un nombre ; dans une puissance de dix entière, augmenter cet exposant de 1 multiplie la valeur par 10, le diminuer de 1 la divise par 10.. Pour une puissance de dix à exposant entier positif, il indique combien de facteurs 10 on multiplie : les facteurs sont les nombres que l’on multiplie entre eux.
| Écriture | Calcul développé | Valeur |
|---|---|---|
| 10¹ | 10 | 10 |
| 10² | 10 × 10 | 100 |
| 10³ | 10 × 10 × 10 | 1 000 |
Avant de continuer, écris 10⁴ comme une multiplication, puis trouve sa valeur. Combien de facteurs 10 as-tu écrits ?
Comparer après ton essai
10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000. L’exposant ne multiplie pas directement 10 : 10 × 4 = 40 est un autre calcul.
Chaque fois que l’exposant augmente de 1, la valeur est multipliée par 10. Dans l’autre sens, on divise par 10. Pour passer de 10¹ à 10⁰, on calcule 10 ÷ 10 : 10⁰ = 1, et non zéro.
Passer en dessous de 1
Continue à diviser par 10 :
| Écriture | Calcul à partir de la ligne précédente | Valeur |
|---|---|---|
| 10⁰ | Point de départ | 1 |
| 10⁻¹ | 1 ÷ 10 | 0,1 |
| 10⁻² | 0,1 ÷ 10 | 0,01 |
Prévois 10⁻³. Est-ce un nombre négatif ? Écris sa valeur, puis multiplie-la trois fois de suite par 10 pour retrouver le point de départ.
Vérifier les deux sens
10⁻³ = 0,001, soit 1 ÷ 1 000. C’est un nombre positif, inférieur à 1. Le signe moins dans l’exposant indique ici des divisions par 10 ; il ne rend pas le résultat négatif.
Le retour donne : 0,001 × 10 = 0,01 ; puis 0,01 × 10 = 0,1 ; puis 0,1 × 10 = 1.
Lire le nombre placé devant la puissance
Reprends 2,5 × 10³. Remplace d’abord 10³ par sa valeur, puis calcule. Fais le même essai avec 2,5 × 10⁻³. Lequel dépasse 1 ?
Comparer les résultats
- 2,5 × 10³ = 2,5 × 1 000 = 2 500.
- 2,5 × 10⁻³ = 2,5 ÷ 1 000 = 0,0025.
Seul le premier dépasse 1. Pour contrôler, repars de ton résultat et fais l’opération inverse : 2 500 ÷ 1 000 ou 0,0025 × 1 000. Tu dois retrouver 2,5.
Un affichage comme 2.5e3 représente 2,5 × 10³. Le point remplace la virgule décimale ; e3 signifie ici « multiplié par dix à la puissance trois ». 2.5e-3 représente 2,5 × 10⁻³. Ce sont des écritures du même nombre, pas des unités différentes.
Essayer sur un autre relevé
Un relevé fictif affiche une longueur de 6 × 10⁻³ m. Écris-la en mètres sans puissance, puis en millimètres, sachant que 1 m = 1 000 mm. La longueur mesurée change-t-elle quand tu changes d’unité ?
Dans l’autre sens, écris 40 000 sous la forme 4 × une puissance de dix. Développe le calcul pour vérifier ton exposant.
Aide pour la longueur, après un essai : remplace 10⁻³ par une division par 1 000. Pour passer des mètres aux millimètres, multiplie le nombre de mètres par 1 000.
Contrôler le transfert
6 × 10⁻³ m = 0,006 m = 6 mm. La longueur reste la même ; le nombre et l’unité changent ensemble.
40 000 = 4 × 10⁴, car 4 × 10 000 = 40 000.
Garde une phrase expliquant la différence entre un exposant négatif et un nombre négatif, puis un calcul qui vérifie ton explication.