Lire une loi normale et ses paramètres

Un capteur mesure la longueur d’une pièce de référence. On regarde son erreur de mesure : longueur mesurée moins longueur de référence, en millimètres. Une erreur négative signifie que le capteur mesure trop court. Deux capteurs peuvent avoir une erreur moyenne proche de zéro, avec des mesures plus ou moins dispersées. La moyenne seule ne suffit pas pour les comparer.

Cette fiche facultative sert quand tu bloques sur le sens de la courbe en cloche ou de ses paramètres. Les valeurs ci-dessous sont simulées : nous choisissons le modèle pour l’explorer, sans prétendre avoir testé un capteur. Dans Colab, copie chaque bloc dans une cellule de code et garde tes prédictions dans une cellule de texte. Si tu passes plus de vingt minutes sans essai, demande un appui sur une seule étape.

Prévoir ce que le centre ne raconte pas

On choisit une loi normale, un modèle de répartition des valeurs en cloche, symétrique autour de sa moyenne. Il est continu : il décrit des valeurs sur une échelle sans pas imposé. Ce modèle dépend de deux paramètres :

• Mean / moyenne, notée μ, fixe le centre. Ici, μ vaut zéro millimètre.
• Standard deviation / écart-typeVocabulaire · écart-typeUne mesure de la dispersion : de combien les valeurs s'éloignent de la moyenne, en moyenne, exprimée dans l'unité de la variable. Sur les délais de livraison Olist il vaut 9,56 jours pour une moyenne de 12,50., noté σ, règle la dispersion autour du centre. Ici, σ vaut 0,2 mm. Il doit être strictement positif pour ce modèle.

L’écart-type n’est ni l’erreur maximale ni une garantie sur la prochaine mesure. Avant d’exécuter, réponds : si l’écart-type augmente sans changer la moyenne, les erreurs devraient-elles se rapprocher de zéro ou s’en éloigner davantage ?

Comparer des observations simulées au modèle choisi

Le code fournit un lot de mesures et son graphique. Une ligne de erreurs représente l’erreur d’une mesure, pas un capteur différent. La graine 404 permet de rejouer le même tirage dans un environnement identique.

import random
from statistics import NormalDist, mean, pstdev
import plotly.graph_objects as go

mu = 0.0            # centre du modèle, en mm
sigma = 0.2         # écart-type du modèle, en mm
modele = NormalDist(mu, sigma)
rng = random.Random(404)
# range(60) fait répéter le tirage 60 fois.
erreurs = [rng.gauss(mu, sigma) for _ in range(60)]

# La fenêtre contient le lot entier et au moins quatre écarts-types du modèle.
bas = min(min(erreurs), mu - 4 * sigma)
haut = max(max(erreurs), mu + 4 * sigma)
# Ces 401 positions servent seulement à dessiner une courbe assez régulière.
x = [bas + (haut - bas) * i / 400 for i in range(401)]
figure = go.Figure()
figure.add_histogram(x=erreurs, histnorm="probability density",
                     name="Lot simulé", opacity=0.55)
figure.add_scatter(x=x, y=[modele.pdf(v) for v in x],
                   mode="lines", name="Modèle normal choisi")
figure.update_layout(xaxis_title="Erreur de mesure (mm)",
                     yaxis_title="Densité (par mm)", barmode="overlay")
figure.show()
print("Effectif :", len(erreurs))
print("Moyenne du lot (mm) :", round(mean(erreurs), 3))
print("Écart-type descriptif du lot (mm) :", round(pstdev(erreurs), 3))

mean et pstdev décrivent le lot. NormalDist représente le modèle choisi ; pdf donne sa hauteur de densité. Avec cette normalisation, l’aire totale des barres de l’histogrammeVocabulaire · histogrammeUn graphique qui découpe une série de nombres en tranches et montre combien de valeurs tombent dans chacune. C'est la forme la plus directe pour lire une distribution. vaut un : on peut comparer leur forme à la courbe. Une probabilité est un nombre entre zéro et un attribué à un événement par le modèle. La hauteur n’est pas une probabilité. Dans le modèle continu, la probabilité porte sur un intervalle et correspond à l’aire sous la courbe sur cet intervalle. La probabilité d’une valeur exacte est nulle ; une mesure arrondie à zéro correspond pourtant à tout un intervalle de valeurs possibles.

Avant de lire les sorties, prédis si la moyenne du lot sera exactement μ et son écart-type exactement σ. Compare ensuite les sorties aux paramètres choisis. L’histogramme décrit le tirage ; la courbe décrit le modèle qui l’a généré. Un échantillonVocabulaire · échantillonUn sous-ensemble d'observations choisi pour étudier un ensemble plus vaste. fini ne reproduit pas exactement les paramètres du modèle. La courbe se prolonge au-delà de la fenêtre affichée.

Déplacer le centre ou étaler la courbe

Prédis ce qui change dans chacun des deux cas : passer de μ = 0 à μ = 0,4 mm, puis passer de σ = 0,2 à σ = 0,4 mm en gardant μ = 0. Le code compare les modèles sur les mêmes axes. Clique dans la légende pour masquer une courbe, puis la réafficher.

comparaison = go.Figure()
positions = [-2 + i / 100 for i in range(401)]
for centre, ecart in [(0, 0.2), (0.4, 0.2), (0, 0.4)]:
    loi = NormalDist(centre, ecart)
    comparaison.add_scatter(
        x=positions, y=[loi.pdf(v) for v in positions], mode="lines",
        name=f"Moyenne {centre} mm ; écart-type {ecart} mm")
comparaison.update_layout(xaxis_title="Erreur de mesure (mm)",
                          yaxis_title="Densité (par mm)")
comparaison.show()

Changer μ déplace le centre sans changer l’étalement. Augmenter σ étale la courbe : son sommet baisse pour que l’aire totale reste un. La variance est le carré de σ ; doubler σ multiplie la variance par quatre, sans déplacer le centre. Son unité est ici le millimètre carré, pas le millimètre.

Modifie une seule paire de paramètres dans la liste. Écris ce que tu attends, puis explique le changement sur le graphique avec son unité. Si la courbe sort de la fenêtre de −2 à 2 mm, élargis les positions affichées avant de conclure.

Transfert : quel capteur peut être recalibré ?

Deux capteurs sont décrits provisoirement par des lois normales : A a une moyenne de 0,35 mm et un écart-type de 0,1 mm ; B a une moyenne de zéro et un écart-type de 0,4 mm. Le technicien peut recalibrer le centre d’un capteur, mais pas réduire sa dispersion avec ce réglage. Lequel essaies-tu de recalibrer en premier ? Dessine les deux courbes, écris ton choix et indique ce que le réglage devrait changer. Nomme aussi une donnée réelle qu’il faudrait recueillir pour examiner ces modèles.

Pour vérifier, montre ton dessin à un binôme : peut-il retrouver le centre et l’étalement de chaque modèle ? Remplace les paramètres de la cellule de comparaison pour contrôler les deux courbes.

Une erreur moyenne proche de zéro peut cacher des erreurs positives et négatives qui se compensent. Aucune de ces courbes simulées ne prouve les performances d’un capteur réel. Quand une erreur résulte de nombreuses petites variations, un modèle normal peut être une hypothèseVocabulaire · hypothèseUne attente formulée avant le calcul, avec les données et la comparaison qui permettront de l’examiner. Un écart observé décrit ces données ; il ne démontre pas à lui seul une cause ni une règle valable ailleurs. à examiner ; ni une silhouette en cloche ni deux résumés ne suffisent à la valider. La normale permet toute valeur réelle : elle ne convient donc pas automatiquement à une grandeur strictement positive.

Pour reprendre la lecture des résumés d’un lot réel : Comparer moyenne, médianeVocabulaire · médianeLa valeur qui coupe la population en deux parts égales : la moitié des lignes sont en dessous, l'autre moitié au-dessus. Contrairement à la moyenne, une valeur extrême ne la déplace presque pas. et quantilesVocabulaire · quantileUne valeur en dessous de laquelle se trouve une part donnée de la population. Le quantile 0,9 est le seuil sous lequel se rangent 90 % des lignes..

Pour retrouver les définitions : NIST, loi normale, Python, statistiques et Plotly, histogrammes.